Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1971

Đề thi

Bài 1Chứng minh mệnh đề sau đúng với $n=3$ và $n=5$ , nhưng sai với mọi số tự nhiên khác $n>2$ : với các số thực tùy ý $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , $(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0$ .Các cách giải: 1
Bài 2Xét khối đa diện lồi $P_1$ có chín đỉnh $A_1,A_2,\ldots,A_9$ . Gọi $P_i$ là ảnh của $P_1$ qua phép tịnh tiến đưa $A_1$ tới $A_i$ ( $i=2,3,\ldots,9$ ). Chứng minh ít nhất hai khối trong $P_1,P_2,\ldots,P_9$ có chung một điểm trong.Các cách giải: 1
Bài 3Chứng minh tập các số nguyên dạng $2^k-3$ ( $k=2,3,\ldots$ ) chứa một tập con vô hạn mà mọi hai phần tử đều nguyên tố cùng nhau.Các cách giải: 1
Bài 4Mọi mặt của tứ diện $ABCD$ là tam giác nhọn. Xét các đường gấp khúc kín $XYZTX$ , trong đó $X$ nằm trong $AB$ , còn $Y,Z,T$ lần lượt nằm trong $BC,CD,DA$ . Chứng minh: (a) nếu $\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC$ thì không có đường nào đạt độ dài nhỏ nhất; (b) nếu $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$ thì có vô hạn đường ngắn nhất, cùng độ dài $2AC\sin(\alpha/2)$ , với $\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$ .Các cách giải: 1
Bài 5Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $m$ , tồn tại một tập hữu hạn $S$ các điểm trong mặt phẳng sao cho mỗi điểm $A$ trong $S$ có đúng $m$ điểm của $S$ cách $A$ một đơn vị.Các cách giải: 1
Bài 6Cho $A=(a_{ij})$ ( $i,j=1,2,\ldots,n$ ) là ma trận vuông có các phần tử nguyên không âm. Giả sử mỗi khi $a_{ij}=0$ , tổng các phần tử ở hàng $i$ và cột $j$ ít nhất là $n$ . Chứng minh tổng tất cả phần tử của ma trận ít nhất bằng $n^2/2$ .Các cách giải: 1