Math Labs

Bài 1

Chứng minh mệnh đề sau đúng với n=3n=3 và n=5n=5, nhưng sai với mọi số tự nhiên khác n>2n>2: với các số thực tùy ý a1,a2,…,ana_1,a_2,\ldots,a_n, (a1−a2)(a1−a3)⋯(a1−an)+(a2−a1)(a2−a3)⋯(a2−an)+⋯+(an−a1)(an−a2)⋯(an−an−1)≥0(a_1-a_2)(a_1-a_3)\cdots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\cdots(a_2-a_n)+\cdots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\cdots(a_n-a_{n-1})\ge0.
Bước 1 trên 6: Loại mọi n chẵn
Bước trướcBước tiếp
En=∑i=1n∏j≠i(ai−aj),a1<0, a2=⋯=an=0  ⟹  En=a1n−1<0E_n=\sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(a_i-a_j),\qquad a_1<0,\ a_2=\cdots=a_n=0\implies E_n=a_1^{n-1}<0
Phân tích chi tiết

Viết biểu thức thành En=∑i=1n∏j≠i(ai−aj)E_n=\sum_{i=1}^n\prod_{j\ne i}(a_i-a_j). Với nn chẵn, chọn a1<0a_1<0 và a2=⋯=an=0a_2=\cdots=a_n=0. Mọi hạng trừ hạng đầu đều chứa hiệu bằng không do các số lặp lại, nên En=a1n−1<0E_n=a_1^{n-1}<0 vì n−1n-1 lẻ.