Math Labs

Bài 4

Mọi mặt của tứ diện ABCDABCD là tam giác nhọn. Xét các đường gấp khúc kín XYZTXXYZTX, trong đó XX nằm trong ABAB, còn Y,Z,TY,Z,T lần lượt nằm trong BC,CD,DABC,CD,DA. Chứng minh: (a) nếu ∠DAB+∠BCD≠∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC thì không có đường nào đạt độ dài nhỏ nhất; (b) nếu ∠DAB+∠BCD=∠CDA+∠ABC\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC thì có vô hạn đường ngắn nhất, cùng độ dài 2ACsin⁡(α/2)2AC\sin(\alpha/2), với α=∠BAC+∠CAD+∠DAB\alpha=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB.
Bước 1 trên 5: Trải đường gấp khúc thành đoạn phẳng
Bước trướcBước tiếp
XYZTX⟼XYZTX′XYZTX\longmapsto XYZTX'
Phân tích chi tiết

Lần lượt quay các mặt quanh BCBC, CDCD và AD′AD' để các mặt liên quan nằm trong một mặt phẳng. Đường XYZTXXYZTX trở thành đường phẳng liên tục XYZTX′XYZTX' giữa X∈ABX\in AB và ảnh X′∈A′B′X'\in A'B'. Với hai đầu mút cố định, đường ngắn nhất là đoạn thẳng.