Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1972

Đề thi

Bài 1Chứng minh rằng từ một tập hợp gồm mười số có hai chữ số khác nhau (trong hệ thập phân), luôn có thể chọn ra hai tập con rời nhau sao cho tổng các phần tử của chúng bằng nhau.Các cách giải: 1
Bài 2Chứng minh rằng nếu $n\ge4$ , mọi tứ giác nội tiếp được một đường tròn có thể chia thành $n$ tứ giác mà mỗi tứ giác cũng nội tiếp được một đường tròn.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $m$ và $n$ là các số nguyên không âm tùy ý. Chứng minh $\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!}$ là số nguyên. ( $0!=1$ ).Các cách giải: 1
Bài 4Tìm mọi nghiệm thực dương $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ của năm bất đẳng thức $(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)\le0$ , $(x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)\le0$ , $(x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)\le0$ , $(x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)\le0$ , $(x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)\le0$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $f$ và $g$ là các hàm thực xác định với mọi $x,y$ thực, thỏa $f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y)$ với mọi $x,y$ . Chứng minh rằng nếu $f$ không đồng nhất bằng không và $|f(x)|\le1$ với mọi $x$ , thì $|g(y)|\le1$ với mọi $y$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho bốn mặt phẳng song song đôi một khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại một tứ diện đều có một đỉnh nằm trên mỗi mặt phẳng.Các cách giải: 1