Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1974

Đề thi

Bài 1Ba người chơi $A$ , $B$ và $C$ chơi trò chơi sau. Trên mỗi trong ba tấm thẻ có ghi một số nguyên; ba số $p, q, r$ thỏa $0 < p < q < r$ . Ba tấm thẻ được xáo trộn và chia cho mỗi người một thẻ, mỗi người nhận số quân cờ bằng số ghi trên thẻ mình cầm. Các thẻ lại được xáo trộn và chia tiếp, quá trình này lặp lại ít nhất hai lượt (số quân cờ của các lượt trước vẫn giữ nguyên cho người chơi). Sau lượt cuối cùng, $A$ có tổng cộng $20$ quân cờ, $B$ có $10$ , và $C$ có $9$ . Ở lượt cuối, $B$ nhận được $r$ quân cờ. Ai đã nhận được $q$ quân cờ ở lượt đầu tiên?Các cách giải: 1
Bài 2Trong tam giác $ABC$ , chứng minh rằng tồn tại điểm $D$ trên cạnh $AB$ sao cho $CD$ là trung bình nhân của $AD$ và $DB$ khi và chỉ khi $\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}$ .Các cách giải: 2
Bài 3Chứng minh rằng $\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}$ không chia hết cho $5$ với mọi số nguyên $n\ge0$ .Các cách giải: 1
Bài 4Xét các cách chia bàn cờ $8\times8$ thành $p$ hình chữ nhật không giao nhau. Mỗi hình chữ nhật có số ô trắng bằng số ô đen. Nếu $a_i$ là số ô trắng trong hình chữ nhật thứ $i$ thì $a_1<a_2<\cdots<a_p$ . Tìm $p$ lớn nhất có thể và, với $p$ đó, tìm mọi dãy $a_1,\ldots,a_p$ .Các cách giải: 1
Bài 5Tìm mọi giá trị có thể của $S=\dfrac{a}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}$ , trong đó $a,b,c,d$ là các số thực dương tùy ý.Các cách giải: 1
Bài 6Cho $P$ là đa thức không hằng với hệ số nguyên. Nếu $n(P)$ là số các số nguyên phân biệt $k$ sao cho $P(k)^2=1$ , chứng minh $n(P)-\deg(P)\le2$ .Các cách giải: 1