国際数学オリンピック · 1974年

問題

第1問3人のプレイヤー $A$ 、 $B$ 、 $C$ が次のゲームをする。3枚のカードそれぞれに整数が書かれており、その3つの数 $p, q, r$ は $0 < p < q < r$ を満たす。3枚のカードをシャッフルして各プレイヤーに1枚ずつ配り、各プレイヤーは自分が持つカードに書かれた数と同じ枚数のおはじきを受け取る。カードは再びシャッフルされて配られ、これを少なくとも2回繰り返す(それ以前のラウンドで得たおはじきはそのままプレイヤーの手元に残る)。最後のラウンドの後、 $A$ は合計 $20$ 枚、 $B$ は $10$ 枚、 $C$ は $9$ 枚のおはじきを持っていた。最後のラウンドで $B$ は $r$ 枚を受け取った。1回目のラウンドで $q$ 枚を受け取ったのは誰か?解答: 1
第2問三角形 $ABC$ において、辺 $AB$ 上に点 $D$ が存在して $CD$ が $AD$ と $DB$ の相乗平均になるのは、 $\sin A \sin B \le \sin^2 \frac{C}{2}$ が成り立つとき、かつそのときに限ることを証明せよ。解答: 2
第3問任意の整数 $n\ge0$ に対して、 $\sum_{k=0}^{n}\binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}$ が $5$ で割り切れないことを証明せよ。解答: 1
第4問 $8\times8$ のチェス盤を $p$ 個の互いに重ならない長方形に分割する。各長方形は白マスと黒マスを同数含む。第 $i$ 長方形の白マス数を $a_i$ とするとき $a_1<a_2<\cdots<a_p$ とする。可能な $p$ の最大値を求め、その $p$ に対するすべての数列 $a_1,\ldots,a_p$ を求めよ。解答: 1
第5問正の実数 $a,b,c,d$ に対し、 $S=\dfrac{a}{a+b+d}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{b+c+d}+\dfrac{d}{a+c+d}$ が取り得るすべての値を求めよ。解答: 1
第6問整数係数をもつ非定数多項式 $P$ を考える。 $P(k)^2=1$ を満たす相異なる整数 $k$ の個数を $n(P)$ とするとき、 $n(P)-\deg(P)\le2$ を証明せよ。解答: 1