国际数学奥林匹克 · 1975年

试题

第1题设实数 $x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n$ 与 $y_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n$ 。证明:若 $z_1, z_2, \ldots, z_n$ 是 $y_1, y_2, \ldots, y_n$ 的任意一个排列,则 $\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n} (x_i - z_i)^2$ 。解法: 1
第2题设 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 是正整数组成的无穷递增数列。证明:对每个 $p \ge 1$ ,都存在无穷多个 $a_m$ 可以写成 $a_m = xa_p + ya_q$ 的形式,其中 $x, y$ 为正整数,且 $q > p$ 。解法: 1
第3题在任意三角形 $ABC$ 的各边外侧作三角形 $ABR$ 、 $BCP$ 、 $CAQ$ ,使得 $\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ$ , $\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ$ , $\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ$ 。证明: $\angle QRP = 90^\circ$ 且 $QR = RP$ 。解法: 1
第4题将 $4444^{4444}$ 用十进制表示,其各位数字之和为 $A$ 。设 $B$ 为 $A$ 的各位数字之和。求 $B$ 的各位数字之和。( $A$ 、 $B$ 均用十进制表示。)解法: 1
第5题判断并证明:能否在单位圆的圆周上取 $1975$ 个点,使任意两点之间的距离都是有理数。解法: 1
第6题求所有二元多项式 $P$ :对某个正整数 $n$ ,任意实数 $t,x,y$ 有 $P(tx,ty)=t^nP(x,y)$ ;任意实数 $a,b,c$ 有 $P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0$ ;且 $P(1,0)=1$ 。解法: 1