Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1976

Đề thi

Bài 1Trong một tứ giác lồi có diện tích $32$ , tổng độ dài của hai cạnh đối diện và một đường chéo bằng $16$ . Hãy xác định mọi độ dài có thể có của đường chéo còn lại.Các cách giải: 1
Bài 2Cho $P_1(x) = x^2 - 2$ và $P_j(x) = P_1(P_{j-1}(x))$ với $j = 2, 3, \ldots$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ , các nghiệm của phương trình $P_n(x) = x$ đều là số thực và đôi một phân biệt.Các cách giải: 1
Bài 3Một hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể được lấp đầy hoàn toàn bằng các khối lập phương cạnh $1$ . Nếu đặt vào hộp số lượng tối đa các khối lập phương thể tích $2$ , với các cạnh song song với các cạnh của hộp, thì đúng $40\%$ thể tích của hộp được chiếm chỗ. Hãy xác định các kích thước có thể có của mọi hộp như vậy.Các cách giải: 1
Bài 4Chứng minh và xác định số lớn nhất có thể là tích của các số nguyên dương có tổng bằng $1976$ .Các cách giải: 1
Bài 5Xét hệ $p$ phương trình với $q=2p$ ẩn $x_1,\ldots,x_q$ , trong đó mọi hệ số $a_{ij}$ đều thuộc $\{-1,0,1\}$ . Chứng minh rằng hệ có một nghiệm sao cho (a) mọi $x_j$ đều là số nguyên; (b) ít nhất một $x_j\ne0$ ; (c) $|x_j|\le q$ với mọi $j$ .Các cách giải: 1
Bài 6Dãy $(u_n)$ được xác định bởi $u_0=2$ , $u_1=\frac52$ và $u_{n+1}=u_n(u_{n-1}^2-2)-u_1$ với $n=1,2,\ldots$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ , $\lfloor u_n\rfloor=2^{\frac{2^n-(-1)^n}{3}}$ , trong đó $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ .Các cách giải: 1