Math Labs

Bài 3

Cho n>2n>2 và Vn={1+kn:k=1,2,…}V_n=\{1+kn:k=1,2,\ldots\}. Một phần tử của VnV_n là không phân rã nếu nó không là tích của hai phần tử thuộc VnV_n. Chứng minh có phần tử của VnV_n có hai cách phân tích khác nhau thành các phần tử không phân rã, không kể thứ tự.
Bước 1 trên 6: Chọn bốn số thuộc lớp dư −1-1
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hai số đồng dư −1-1 nhân với nhau cho một phần tử thuộc nửa nhóm VnV_n.

n−1≡2n−1≡−1(modn)n-1\equiv2n-1\equiv-1\pmod n
Phân tích chi tiết

Các số (n−1)2(n-1)^2, (2n−1)2(2n-1)^2 và (n−1)(2n−1)(n-1)(2n-1) đều thuộc VnV_n vì có số dư 1(modn)1\pmod n. Tích hai số đầu bằng bình phương số thứ ba: (n−1)2(2n−1)2=((n−1)(2n−1))2(n-1)^2(2n-1)^2=((n-1)(2n-1))^2.