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第3题

设 n>2n>2，令 Vn={1+kn:k=1,2,…}V_n=\{1+kn:k=1,2,\ldots\}。若 VnV_n 中的元素不能表示为其中两个元素的乘积，则称其为不可分解元。证明存在某个 VnV_n 中的元素具有两种不同的不可分解因子分解，且这些因子属于 VnV_n（忽略因子顺序）。
第 1/6 步：选取四个模 n 余数为 −1-1 的数
上一步下一步
通俗地说

两个模 n 同余于 −1-1 的数相乘，结果回到半群 VnV_n。

n−1≡2n−1≡−1(modn)n-1\equiv2n-1\equiv-1\pmod n
详细分析

数 (n−1)2(n-1)^2、(2n−1)2(2n-1)^2 和 (n−1)(2n−1)(n-1)(2n-1) 都模 n 同余于 1(modn)1\pmod n，故属于 VnV_n。前两个数的乘积等于第三个数的平方：(n−1)2(2n−1)2=((n−1)(2n−1))2(n-1)^2(2n-1)^2=((n-1)(2n-1))^2。