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国际数学奥林匹克 · 1977年

试题

  1. 第1题在正方形 ABCDABCD 内作等边三角形 ABKABK、BCLBCL、CDMCDM 和 DANDAN。证明 KL,LM,MN,NKKL,LM,MN,NK 以及 AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,ANAK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN 的中点正好是一个正十二边形的十二个顶点。解法: 1
  2. 第2题在一个有限实数序列中，任意七个连续项的和为负，任意十一个连续项的和为正。求序列的最大长度。解法: 1
  3. 第3题设 n>2n>2，令 Vn={1+kn:k=1,2,…}V_n=\{1+kn:k=1,2,\ldots\}。若 VnV_n 中的元素不能表示为其中两个元素的乘积，则称其为不可分解元。证明存在某个 VnV_n 中的元素具有两种不同的不可分解因子分解，且这些因子属于 VnV_n（忽略因子顺序）。解法: 1
  4. 第4题设 f(θ)=1−acos⁡θ−bsin⁡θ−Acos⁡2θ−Bsin⁡2θf(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta 为实数，且 a,b,A,Ba,b,A,B。证明若对所有实数 f(θ)≥0f(\theta)\ge0 都有 θ\theta，则 a2+b2≤2a^2+b^2\le2 且 A2+B2≤1A^2+B^2\le1。解法: 1
  5. 第5题设 a,ba,b 为正整数。将 a2+b2a^2+b^2 除以 a+ba+b，商为 qq，余数为 rr。求满足 (a,b)(a,b) 的所有 q2+r=1977q^2+r=1977。解法: 1
  6. 第6题设 f:Z>0→Z>0f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}。证明若对每个正整数 f(n+1)>f(f(n))f(n+1)>f(f(n)) 有 nn，则对所有正整数 f(n)=nf(n)=n 都有 nn。解法: 1