Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1979

Đề thi

Bài 1Cho $p$ và $q$ là các số nguyên dương sao cho $\dfrac pq=1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots-\dfrac1{1318}+\dfrac1{1319}$ . Chứng minh $p$ chia hết cho $1979$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho một lăng trụ có hai đáy ngũ giác $A_1A_2A_3A_4A_5$ và $B_1B_2B_3B_4B_5$ . Mỗi cạnh của hai ngũ giác và mỗi đoạn $A_iB_j$ được tô đỏ hoặc xanh. Mọi tam giác có các đỉnh là đỉnh của lăng trụ và mọi cạnh đều đã tô đều có hai cạnh khác màu. Chứng minh tất cả 10 cạnh của hai đáy cùng màu.Các cách giải: 1
Bài 3Hai đường tròn trong một mặt phẳng cắt nhau. Gọi $A$ là một giao điểm. Hai điểm cùng khởi hành từ $A$ với vận tốc không đổi, mỗi điểm chuyển động trên một đường tròn theo cùng chiều. Sau một vòng, chúng đồng thời trở về $A$ . Chứng minh tồn tại điểm cố định $P$ sao cho tại mọi thời điểm, khoảng cách từ $P$ tới hai điểm chuyển động bằng nhau.Các cách giải: 1
Bài 4Cho mặt phẳng $\pi$ , điểm $P$ thuộc $\pi$ và điểm $Q$ không thuộc $\pi$ . Tìm mọi điểm $R$ thuộc $\pi$ sao cho tỉ số $\dfrac{QP+PR}{QR}$ đạt cực đại.Các cách giải: 1
Bài 5Tìm mọi số thực $a$ sao cho tồn tại các số thực không âm $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ thỏa $\sum_{k=1}^5kx_k=a$ , $\sum_{k=1}^5k^3x_k=a^2$ và $\sum_{k=1}^5k^5x_k=a^3$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho A và E là hai đỉnh đối diện của một bát giác đều. Ếch bắt đầu ở A và nhảy tới đỉnh kề cho đến khi tới E thì dừng. Nếu a_n là số đường đi đúng n bước kết thúc ở E, chứng minh $a_{2n-1}=0$ và $a_{2n}=\frac{(2+\sqrt{2})^{n-1}-(2-\sqrt{2})^{n-1}}{\sqrt{2}}$ với $n=1,2,3,\ldots$ .Các cách giải: 1