第3题

求

m^2+n^2

的最大值，其中

m

和

n

是满足

m, n \in \{1, 2, \ldots, 1981\}

且

(n^2-mn-m^2)^2 = 1

的整数。

第 4/6 步：得出每个解都是斐波那契对

\text{All positive solutions are } (m,n) = (F_k, F_{k+1})

详细分析

由于每个解都能（第 3 步）下降到基本情形，而正向递推（第 2 步）的每一步都保持是解，按归纳法，每个满足 $n\ge m$ 的正整数解 $(m,n)$ 都是一对连续的斐波那契数 $(F_k,F_{k+1})$ （其中 $F_1=F_2=1$ ）。