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国际数学奥林匹克 · 1981年

试题

  1. 第1题设 PP 是给定三角形 ABCABC 内部的一点，DD, EE, FF 分别是从 PP 向直线 BCBC, CACA, ABAB 所作垂线的垂足。求使得 BCPD+CAPE+ABPF\dfrac{BC}{PD} + \dfrac{CA}{PE} + \dfrac{AB}{PF} 取最小值的所有 PP 的位置。解法: 1
  2. 第2题设 nn 和 rr 是满足 1≤r≤n1 \le r \le n 的整数，考虑集合 {1,2,…,n}\{1,2,\dots,n\} 的所有 rr 元子集（共 (nr)\binom{n}{r} 个）。每个这样的子集都有一个最小元素。设 F(n,r)F(n,r) 为这些最小元素的算术平均值。证明 F(n,r)=n+1r+1.F(n,r) = \frac{n+1}{r+1}.解法: 2
  3. 第3题求 m2+n2m^2+n^2 的最大值，其中 mm 和 nn 是满足 m,n∈{1,2,…,1981}m, n \in \{1, 2, \ldots, 1981\} 且 (n2−mn−m2)2=1(n^2-mn-m^2)^2 = 1 的整数。解法: 1
  4. 第4题(a) 对哪些整数 n>2n>2，存在 nn 个连续正整数组成的集合，使得集合中最大的数是其余 n−1n-1 个数的最小公倍数的因数？(b) 对哪些整数 n>2n>2，恰好存在一个这样的集合？解法: 2
  5. 第5题三个全等的圆有一个公共点 OO，且都位于给定三角形的内部。每个圆都与三角形的两条边相切。证明三角形的内心、外心与点 OO 三点共线。解法: 1
  6. 第6题函数 f(x,y)f(x,y) 对所有非负整数 x,yx,y 满足 f(0,y)=y+1,f(0,y) = y+1, f(x+1,0)=f(x,1),f(x+1,0) = f(x,1), f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))f(x+1,y+1) = f\big(x, f(x+1,y)\big) 求 f(4,1981)f(4,1981)。解法: 1