Bài 4

(a) Với những giá trị nguyên nào của

n>2

thì tồn tại một tập hợp

n

số nguyên dương liên tiếp sao cho số lớn nhất trong tập là ước của bội chung nhỏ nhất của

n-1

số còn lại? (b) Với những giá trị nguyên nào của

n>2

thì chỉ có đúng một tập hợp như vậy?

Bước 1 trên 6: Chặn kích thước tập hợp bằng lũy thừa số nguyên tố lớn nhất trong

k

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Nhân tử lũy thừa số nguyên tố "khó nhất" của $k$ quyết định cần bao nhiêu số liên tiếp trước khi một bội khác của cùng lũy thừa số nguyên tố đó xuất hiện.

k=\prod_i p_i^{e_i} \implies \text{need } n > \max_i p_i^{e_i}

Phân tích chi tiết

Nếu $k$ (số lớn nhất) chia hết cho lũy thừa số nguyên tố $p_i^{e_i}$ , thì $k$ chia hết bội chung nhỏ nhất của các số còn lại chỉ khi bội chung đó cũng chia hết cho $p_i^{e_i}$ ; bội gần nhất của $p_i^{e_i}$ nhỏ hơn $k$ là $k-p_i^{e_i}$ , nên tập hợp phải kéo dài xuống ít nhất đến đó, tức phải có ít nhất $p_i^{e_i}$ phần tử. Lấy giá trị lớn nhất trên mọi lũy thừa số nguyên tố chia hết $k$ cho chặn đã nêu.