Math Labs

Bài 1

Hàm f(n)f(n) được xác định trên tập số nguyên dương và nhận giá trị nguyên không âm. f(2)=0f(2)=0, f(3)>0f(3)>0, f(9999)=3333f(9999)=3333, và với mọi m,nm,n: f(m+n)−f(m)−f(n)=0 or 1.f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ or } 1. Tính f(1982)f(1982).
Bước 1 trên 7: Tính siêu cộng tính suy ra f(1)=0f(1)=0
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Toàn bộ bài toán dựa trên một quan sát: phần dư f(m+n)−f(m)−f(n)f(m+n)-f(m)-f(n) không bao giờ âm, nên việc tách một số thành các phần chỉ có thể làm tăng hoặc giữ nguyên giá trị của ff, không bao giờ làm giảm.

f(2)=f(1+1)≥f(1)+f(1) ⇒ 0≥2f(1) ⇒ f(1)=0f(2)=f(1+1)\ge f(1)+f(1) \ \Rightarrow\ 0\ge 2f(1) \ \Rightarrow\ f(1)=0
Phân tích chi tiết

Giả thiết nói rằng f(m+n)−f(m)−f(n)f(m+n)-f(m)-f(n) luôn bằng 00 hoặc 11, tức luôn ≥0\ge 0: ff là hàm siêu cộng tính, f(m+n)≥f(m)+f(n)f(m+n)\ge f(m)+f(n). Lấy m=n=1m=n=1 ta được f(2)≥2f(1)f(2)\ge 2f(1). Vì f(2)=0f(2)=0 và ff chỉ nhận giá trị không âm nên f(1)=0f(1)=0.