竞赛 › 国际数学奥林匹克 › 1982年 第1题 函数 f ( n ) f(n) f ( n ) f ( 2 ) = 0 f(2)=0 f ( 2 ) = 0 f ( 3 ) > 0 f(3)>0 f ( 3 ) > 0 f ( 9999 ) = 3333 f(9999)=3333 f ( 9999 ) = 3333 m , n m,n m , n f ( m + n ) − f ( m ) − f ( n ) = 0 or 1. f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ or } 1. f ( m + n ) − f ( m ) − f ( n ) = 0 or 1. f ( 1982 ) f(1982) f ( 1982 ) 解法: 1 第2题 设不等腰三角形 A 1 A 2 A 3 A_1A_2A_3 A 1 A 2 A 3 a 1 a_1 a 1 a 2 a_2 a 2 a 3 a_3 a 3 a i a_i a i A i A_i A i M i M_i M i a i a_i a i T i T_i T i A 1 A 2 A 3 A_1A_2A_3 A 1 A 2 A 3 a i a_i a i S i S_i S i T i T_i T i A i A_i A i M 1 S 1 M_1S_1 M 1 S 1 M 2 S 2 M_2S_2 M 2 S 2 M 3 S 3 M_3S_3 M 3 S 3 解法: 1 第3题 考虑由正实数组成的无穷数列 { x n } \{x_n\} { x n } x 0 = 1 x_0=1 x 0 = 1 x 0 ≥ x 1 ≥ x 2 ≥ ⋯ x_0\ge x_1\ge x_2\ge\cdots x 0 ≥ x 1 ≥ x 2 ≥ ⋯ n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 S n = x 0 2 x 1 + x 1 2 x 2 + ⋯ + x n − 1 2 x n ≥ 3.999 S_n=\frac{x_0^2}{x_1}+\frac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\frac{x_{n-1}^2}{x_n}\ge3.999 S n = x 1 x 0 2 + x 2 x 1 2 + ⋯ + x n x n − 1 2 ≥ 3.999 n n n S n < 4 S_n<4 S n < 4 解法: 1 第4题 证明：若正整数 n n n x 3 − 3 x y 2 + y 3 = n x^3-3xy^2+y^3=n x 3 − 3 x y 2 + y 3 = n ( x , y ) (x,y) ( x , y ) n = 2891 n=2891 n = 2891 解法: 1 第5题 正六边形 A B C D E F ABCDEF A B C D E F A C AC A C C E CE C E M M M N N N A M A C = C N C E = r \frac{AM}{AC}=\frac{CN}{CE}=r A C A M = C E C N = r B , M , N B,M,N B , M , N r r r 解法: 1 第6题 设 S S S 100 100 100 L L L S S S A 0 A 1 , A 1 A 2 , … , A n − 1 A n A_0A_1,A_1A_2,\ldots,A_{n-1}A_n A 0 A 1 , A 1 A 2 , … , A n − 1 A n A 0 = A n A_0=A_n A 0 = A n S S S P P P L L L 1 / 2 1/2 1/2 L L L X , Y X,Y X , Y 1 1 1 L L L X X X Y Y Y 198 198 198 解法: 1 首页 知识库 重大问题 测验 数学家 竞赛