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国际数学奥林匹克
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1983年
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第2题
第2题
设
A
A
A
是两个不等的共面圆
C
1
,
C
2
C_1,C_2
C
1
,
C
2
的两个不同交点之一,圆心分别为
O
1
,
O
2
O_1,O_2
O
1
,
O
2
。一条公切线在
P
1
,
P
2
P_1,P_2
P
1
,
P
2
处相切,另一条在
Q
1
,
Q
2
Q_1,Q_2
Q
1
,
Q
2
处相切。设
M
1
,
M
2
M_1,M_2
M
1
,
M
2
分别为
P
1
Q
1
,
P
2
Q
2
P_1Q_1,P_2Q_2
P
1
Q
1
,
P
2
Q
2
的中点。证明
∠
O
1
A
O
2
=
∠
M
1
A
M
2
\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2
∠
O
1
A
O
2
=
∠
M
1
A
M
2
。
第 1/5 步：引入位似中心
S
S
S
上一步
下一步
S
=
P
1
P
2
∩
Q
1
Q
2
,
S
∈
O
1
O
2
S=P_1P_2\cap Q_1Q_2,\qquad S\in O_1O_2
S
=
P
1
P
2
∩
Q
1
Q
2
,
S
∈
O
1
O
2
详细分析
两条公切线交于
S
S
S
。两圆的中心线经过外位似中心,因此
S
,
O
1
,
O
2
S,O_1,O_2
S
,
O
1
,
O
2
共线。
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