国际数学奥林匹克 · 1983年

试题

第1题求所有定义在正实数集上、取正实数值的函数 $f$ ,使其满足以下两个条件:(i) 对所有正实数 $x, y$ ,都有 $f(xf(y)) = yf(x)$ ;(ii) 当 $x \to \infty$ 时, $f(x) \to 0$ 。解法: 1
第2题设 $A$ 是两个不等的共面圆 $C_1,C_2$ 的两个不同交点之一,圆心分别为 $O_1,O_2$ 。一条公切线在 $P_1,P_2$ 处相切,另一条在 $Q_1,Q_2$ 处相切。设 $M_1,M_2$ 分别为 $P_1Q_1,P_2Q_2$ 的中点。证明 $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$ 。解法: 1
第3题设 $a,b,c$ 为正整数,任意两数的最大公因数均为 $1$ 。证明不能表示为 $xbc+yca+zab$ 的最大整数是 $2abc-ab-bc-ca$ ,其中 $x,y,z$ 为非负整数。解法: 1
第4题设 $ABC$ 为等边三角形, $\mathcal E$ 为其三条边的并集。判断将 $\mathcal E$ 分成两个不交子集时,是否总有一个子集包含某个直角三角形的三个顶点,并说明理由。解法: 1
第5题能否选取 $1983$ 个互不相同的正整数,且都不超过 $10^5$ ,使其中没有三个数是等差数列的连续三项?说明理由。解法: 1
第6题设 $a,b,c$ 为三角形的边长。证明 $a^2b(a-b)+b^2c(b-c)+c^2a(c-a)\ge0$ ,并确定等号成立的条件。解法: 1