Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1987

Đề thi

Bài 1Gọi $p_n(k)$ là số hoán vị của tập $\{1, \ldots, n\}$ , $n \ge 1$ , có đúng $k$ điểm bất động. Chứng minh rằng $\sum_{k=0}^{n} k \cdot p_n(k) = n!$ . (Một hoán vị $f$ của tập $S$ là một song ánh từ $S$ lên chính nó; một phần tử $i$ của $S$ là điểm bất động của $f$ nếu $f(i) = i$ .)Các cách giải: 2
Bài 2Trong tam giác nhọn $ABC$ , đường phân giác trong của góc $A$ cắt $BC$ tại $L$ và cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại $N$ . Từ điểm $L$ , kẻ các đường vuông góc xuống $AB$ và $AC$ , với chân đường vuông góc lần lượt là $K$ và $M$ . Chứng minh rằng tứ giác $AKNM$ và tam giác $ABC$ có diện tích bằng nhau.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là các số thực thỏa $x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 = 1$ . Chứng minh rằng với mọi số nguyên $k \ge 2$ , tồn tại các số nguyên $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , không đồng thời bằng $0$ , sao cho $|a_i| \le k - 1$ với mọi $i$ và $|a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n| \le \dfrac{(k-1)\sqrt{n}}{k^n - 1}$ .Các cách giải: 1
Bài 4Chứng minh rằng không tồn tại hàm $f$ từ tập các số nguyên không âm vào chính nó sao cho $f(f(n)) = n + 1987$ với mọi số nguyên không âm $n$ .Các cách giải: 2
Bài 5Cho $n$ là số nguyên lớn hơn hoặc bằng $3$ . Chứng minh rằng tồn tại một tập gồm $n$ điểm trong mặt phẳng sao cho khoảng cách giữa mọi cặp điểm là vô tỷ và mọi bộ ba điểm đều tạo thành một tam giác không suy biến có diện tích hữu tỷ.Các cách giải: 1
Bài 6Cho n là số nguyên ít nhất 2. Chứng minh nếu $k^2+k+n$ nguyên tố với mọi k nguyên, $0\le k\le\sqrt{n/3}$ , thì nó nguyên tố với mọi k, $0\le k\le n-2$ .Các cách giải: 1