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第2题

在锐角三角形 ABCABC 中,角 AA 的内角平分线与 BCBC 交于点 LL,并与三角形 ABCABC 的外接圆再次相交于点 NN。从点 LL 分别向 ABAB、ACAC 作垂线,垂足依次为 KK、MM。证明四边形 AKNMAKNM 与三角形 ABCABC 的面积相等。
第 1/5 步：AKLM 是风筝形:两条对角线垂直
上一步下一步
通俗地说

沿 ALAL 对折图形会把 KK 与 MM、BB 一侧与 CC 一侧互换,这是因为 ALAL 正是角平分线——正是这种对称性迫使 KM⊥ALKM\perp AL。

AK=AM=ALcos⁡A2,LK=LM=ALsin⁡A2AK = AM = AL\cos\frac{A}{2}, \qquad LK = LM = AL\sin\frac{A}{2}
详细分析

由于 ALAL 平分角 AA,且 LK⊥ABLK \perp AB、LM⊥ACLM \perp AC,直角三角形 AKLAKL 与 AMLAML 有公共斜边 ALAL 及相等的角 ∠KAL=∠MAL=A/2\angle KAL = \angle MAL = A/2,故二者全等:AK=AM=ALcos⁡(A/2)AK=AM=AL\cos(A/2),LK=LM=ALsin⁡(A/2)LK=LM=AL\sin(A/2)。因此 AKLMAKLM 是关于 ALAL 对称的风筝形,其对角线 ALAL 与 KMKM 相互垂直。