第2题

设

ABC

为锐角三角形。角

A

的内角平分线与三角形

ABC

的外接圆的另一个交点为

A_1

;点

B_1

、

C_1

类似定义。设

A_0

为直线

AA_1

与角

B

、角

C

的外角平分线的交点;点

B_0

、

C_0

类似定义。证明三角形

A_0B_0C_0

的面积恰好是六边形

AC_1BA_1CB_1

面积的两倍,并且不小于三角形

ABC

面积的四倍。

第 1/6 步：识别旁心

上一步下一步

通俗地说

这三个新顶点正是三个旁心。

A_0=I_A,\quad B_0=I_B,\quad C_0=I_C

详细分析

按定义, $A_0$ 位于角 $A$ 的内角平分线以及 $B,C$ 的外角平分线上,因此它就是旁心 $I_A$ 。同理 $B_0=I_B$ 、 $C_0=I_C$ ,所以 $A_0B_0C_0$ 是旁心三角形.