国际数学奥林匹克 · 1989年

试题

第1题证明集合 $\{1, 2, \ldots, 1989\}$ 可以表示为 $117$ 个两两不相交的子集 $A_1, A_2, \ldots, A_{117}$ 的并集，每个子集恰好含有 $17$ 个元素，并且每个 $A_i$ 中元素的和都相等。解法: 1
第2题设 $ABC$ 为锐角三角形。角 $A$ 的内角平分线与三角形 $ABC$ 的外接圆的另一个交点为 $A_1$ ;点 $B_1$ 、 $C_1$ 类似定义。设 $A_0$ 为直线 $AA_1$ 与角 $B$ 、角 $C$ 的外角平分线的交点;点 $B_0$ 、 $C_0$ 类似定义。证明三角形 $A_0B_0C_0$ 的面积恰好是六边形 $AC_1BA_1CB_1$ 面积的两倍,并且不小于三角形 $ABC$ 面积的四倍。解法: 1
第3题设 $n$ 和 $k$ 为正整数, $S$ 是平面上的 $n$ 个点集,且 $S$ 中任意三点不共线。假设对每个 $P\in S$ ,至少有 $k$ 个 $S$ 中的点与 $P$ 等距。证明 $k<\frac12+\sqrt{2n}$ .解法: 1
第4题设凸四边形 $ABCD$ 满足 $AB=AD+BC$ 。设内部点 $P$ 到直线 $CD$ 的距离为 $h$ ,且 $AP=h+AD$ 、 $BP=h+BC$ 。证明 $\frac1{\sqrt h}\ge\frac1{\sqrt{AD}}+\frac1{\sqrt{BC}}$ .解法: 1
第5题证明对每个正整数 $n$ ,都存在 $n$ 个连续的正整数,其中没有一个是素数或素数幂。解法: 1
第6题若集合 $\{1,2,\ldots,2n\}$ 的排列 $(x_1,x_2,\ldots,x_{2n})$ 满足对于至少一个 $i\in\{1,\ldots,2n-1\}$ 有 $|x_i-x_{i+1}|=n$ ，就称其具有性质 $P$ 。证明对每个正整数 $n$ ，具有性质 $P$ 的排列多于不具有该性质的排列。解法: 1