MathLabs

Bài 1

Cho f(x)=xn+5xn−1+3f(x)=x^n+5x^{n-1}+3, trong đó n>1n>1 là số nguyên. Chứng minh rằng f(x)f(x) không thể viết thành tích của hai đa thức không hằng có hệ số nguyên.
Bước 3 trên 4: Ép bậc của nhân tử
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hệ số 5 là chướng ngại: theo modulo 3, các hạng trước đều chia hết nên không thể tạo ra nó.

b0cn−1+⋯+bn−2c1+bn−1c0=5b_0c_{n-1}+\cdots+b_{n-2}c_1+b_{n-1}c_0=5
Phân tích chi tiết

Lấy phương trình hệ số theo modulo 3, chỉ còn bn−1c0b_{n-1}c_0 đồng dư 2 modulo 3, nên bn−1b_{n-1} khác 0. Do đó gg có bậc ít nhất n−1n-1; vì đa thức hh không hằng, đa thức này có đúng bậc 1 và gg có bậc n−1n-1.