MathLabs

Bài 1

Cho f(x)=xn+5xn−1+3f(x)=x^n+5x^{n-1}+3, trong đó n>1n>1 là số nguyên. Chứng minh rằng f(x)f(x) không thể viết thành tích của hai đa thức không hằng có hệ số nguyên.
Bước 4 trên 4: Loại nghiệm nguyên
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Nghiệm nguyên làm giá trị bằng 0, nhưng tính chẵn lẻ cho thấy mọi giá trị nguyên đều lẻ.

xn+5xn−1≡xn−1(x+1)≡0(mod2)x^n+5x^{n-1}\equiv x^{n-1}(x+1)\equiv0\pmod2
Phân tích chi tiết

Vì đa thức là đơn thức đầu và h là tuyến tính có hệ số nguyên, h sẽ cho một nghiệm nguyên của f. Nhưng với mọi x nguyên, đồng dư thức trên làm f(x) lẻ vì hạng tự do còn lại là 3. Vậy f không có nghiệm nguyên, mâu thuẫn.