第3题

F或any 正整数

n

译文：, let

d(n)

denote 数的positive 因数s 的

n

译文： (including

1

且

n

itself). 确定所有正整数

k

使得

\frac{d(n^2)}{d(n)}=k

对于some

n

第 1/6 步：Express 因数 ratio

上一步下一步

通俗地说

Prime exponents control both 因数 counts.

n=\prod_{i=1}^r p_i^{a_i}\quad\Rightarrow\quad \frac{d(n^2)}{d(n)}=\prod_{i=1}^r\frac{2a_i+1}{a_i+1}

详细分析

F或素数 factorizati上 $n=\prod p_i^{a_i}$ , 因数 formula gives $d(n)=\prod(a_i+1)$ 且 $d(n^2)=\prod(2a_i+1)$ . 因此 ratio 是displayed 积. Each fact或是rational, but whole 积是整数 $k$ 中problem.