国际数学奥林匹克 · 1998年

试题

第1题In convex quadrilateral $ABCD$ , diagonals $AC$ 且 $BD$ 是perpendicular 且opposite sides $AB$ 且 $DC$ 是不parallel. 设 th在点 $P$ , 其中perpendicular bisectors 的 $AB$ 且 $DC$ meet, 是inside $ABCD$ . 证明 $ABCD$ 是a cyclic quadrilateral if 且仅if 三角形s $ABP$ 且 $CDP$ have equal 面积s.解法: 1
第2题In a competition, there 是 $a$ contestants 且 $b$ judges, 其中 $b\ge3$ 是an odd 整数. Each judge rates 每个contestant as either “pass” 或“fail”. 设 $k$ 是a 数使得, 对于any two judges, their ratings coincide 对于在most $k$ contestants. 证明 $\frac{k}{a}\ge\frac{b-1}{2b}$ .解法: 1
第3题F或any 正整数 $n$ 译文：, let $d(n)$ denote 数的positive 因数s 的 $n$ 译文： (including $1$ 且 $n$ itself). 确定所有正整数 $k$ 使得 $\frac{d(n^2)}{d(n)}=k$ 对于some $n$ .解法: 1
第4题确定所有 pairs $(a,b)$ 的正整数使得 $ab^{2}+b+7$ 译文： divides $a^{2}b+a+b$ .解法: 1
第5题设 $I$ be in中心的三角形 $ABC$ . 设 in圆的 $ABC$ touch sides $BC$ , $CA$ , 且 $AB$ 在 $K$ , $L$ , 且 $M$ , respectively. The 直线 through $B$ parallel 到 $MK$ meets 直线s $LM$ 且 $LK$ 在 $R$ 且 $S$ , respectively. 证明角 $RIS$ 是acute.解法: 1
第6题确定 least possible value 的 $f(1998)$ , 其中 $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ 是a 函数使得对所有 $m,n\in\mathbb{N}$ , $f\left(n^{2}f(m)\right)=m\left(f(n)\right)^{2}.$ 解法: 1