Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2001

Đề thi

Bài 1Cho $ABC$ be an acute-gócd tam giác với circumcentre $O$ . Cho $P$ trên $BC$ be foot của altitude từ $A$ . Giả sử thtại $\angle BCA\ge\angle ABC+30^\circ$ . Chứng minh rằng $\angle CAB+\angle COP<90^\circ$ .Các cách giải: 1
Bài 2Fhoặc tất cả số thực dương $a,b,c$ Bản dịch: , prove $\frac{a}{\sqrt{a^2+8bc}}+\frac{b}{\sqrt{b^2+8ca}}+\frac{c}{\sqrt{c^2+8ab}}\ge1$ .Các cách giải: 1
Bài 3Twenty-one girls và twenty-one boys took part trong a mathematical contest. Each contestant solved tại most six problems. Fhoặc mỗi girl và mỗi boy, tại least one problem was solved bởi both của them. Chứng minh rằng there was a problem solved bởi tại least three girls và tại least three boys.Các cách giải: 1
Bài 4Cho $n>1$ be an odd nguyên và let $k_1,k_2,\dots,k_n$ be nguyêns. Fhoặc mỗi hoán vị $\mathbf a=(a_1,\dots,a_n)$ của $1,\dots,n$ Bản dịch: , define $S(\mathbf a)=\sum_{i=1}^n k_i a_i$ . Chứng minh rằng there là distinct hoán vịs $\mathbf b,\mathbf c$ sao cho $n!$ Bản dịch: divides $S(\mathbf b)S(\mathbf c)$ .Các cách giải: 1
Bài 5In tam giác $ABC$ , $AP$ Bản dịch: bisects $\angle BAC$ với $P$ trên $BC$ , và $BQ$ Bản dịch: bisects $\angle ABC$ với $Q$ trên $CA$ Bản dịch: . Given $\angle BAC=60^\circ$ và $AB+BP=AQ+QB$ , determine possible gócs của $ABC$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $a>b>c>d>0$ be nguyêns satisfying $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$ . Chứng minh rằng $ab+cd$ là không nguyên tố.Các cách giải: 1