Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2008

Đề thi

Bài 1Tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$ . Đường tròn đi qua $H$ với tâm là trung điểm của $BC$ cắt đường thẳng $BC$ tại $A_1$ và $A_2$ . Tương tự, đường tròn đi qua $H$ với tâm là trung điểm của $CA$ cắt đường thẳng $CA$ tại $B_1$ và $B_2$ , và đường tròn đi qua $H$ với tâm là trung điểm của $AB$ cắt đường thẳng $AB$ tại $C_1$ và $C_2$ . Chứng minh rằng $A_1, A_2, B_1, B_2, C_1, C_2$ cùng nằm trên một đường tròn.Các cách giải: 1
Bài 2Cho $x$ , $y$ , $z$ là các số thực, đều khác $1$ , sao cho $xyz=1$ . Chứng minh rằng $\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1,$ và chứng minh rằng dấu đẳng thức xảy ra với vô hạn bộ ba số hữu tỉ $x$ , $y$ , $z$ .Các cách giải: 1
Bài 3Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên dương $n$ sao cho $n^2+1$ có một ước nguyên tố lớn hơn $2n+\sqrt{2n}$ .Các cách giải: 1
Bài 4Tìm tất cả các hàm $f: (0,\infty) \to (0,\infty)$ (nghĩa là $f$ là hàm từ các số thực dương vào các số thực dương) sao cho $\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}$ với mọi số thực dương $w, x, y, z$ thỏa mãn $wx = yz$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương sao cho $k \ge n$ và $k - n$ là số chẵn. Có $2n$ bóng đèn được đánh số $1, 2, \ldots, 2n$ , mỗi bóng có thể bật hoặc tắt. Ban đầu tất cả các bóng đều tắt. Ta xét các dãy thao tác: ở mỗi bước, một bóng đèn được chuyển trạng thái (từ bật sang tắt hoặc từ tắt sang bật). Gọi $N$ là số dãy gồm $k$ bước và kết thúc ở trạng thái các bóng từ $1$ đến $n$ đều bật, còn các bóng từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt. Gọi $M$ là số dãy gồm $k$ bước, kết thúc ở trạng thái các bóng từ $1$ đến $n$ đều bật và các bóng từ $n+1$ đến $2n$ đều tắt, nhưng trong suốt quá trình không có bóng nào từ $n+1$ đến $2n$ từng được bật. Tính $\dfrac{N}{M}$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi với $BA \ne BC$ . Gọi các đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC$ và $ADC$ lần lượt là $\omega_1$ và $\omega_2$ . Giả sử tồn tại một đường tròn $\omega$ tiếp xúc với tia $BA$ ở phía ngoài $A$ và tia $BC$ ở phía ngoài $C$ , đồng thời tiếp xúc với các đường thẳng $AD$ và $CD$ . Chứng minh rằng hai tiếp tuyến chung ngoài của $\omega_1$ và $\omega_2$ cắt nhau trên $\omega$ .Các cách giải: 1