Bài 4

Tìm tất cả các hàm

f: (0,\infty) \to (0,\infty)

(nghĩa là

f

là hàm từ các số thực dương vào các số thực dương) sao cho

\dfrac{(f(w))^2 + (f(x))^2}{f(y^2) + f(z^2)} = \dfrac{w^2 + x^2}{y^2 + z^2}

với mọi số thực dương

w, x, y, z

thỏa mãn

wx = yz

Bước 1 trên 3: Tìm f(1) = 1 và suy ra phương trình bậc hai theo từng điểm của f(x)

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Thay $(1,1,1,1)$ cho $f(1)=1$ , rồi thay $(x,1,\sqrt{x},\sqrt{x})$ để được một phương trình bậc hai theo $f(x)$ có hai nghiệm là $x$ và $\dfrac{1}{x}$ .

f(1)=1, \qquad (w,x,y,z)=(x,1,\sqrt{x},\sqrt{x}) \implies \frac{f(x)^2+1}{2f(x)} = \frac{x^2+1}{2x} \implies (xf(x)-1)(f(x)-x)=0

Phân tích chi tiết

Đặt $w=x=y=z=1$ ta được $\dfrac{2f(1)^2}{2f(1)} = 1$ , nên $f(1) = 1$ . Tiếp theo, với mọi $x > 0$ , đặt $(w,x,y,z) = (x, 1, \sqrt{x}, \sqrt{x})$ (thỏa mãn $x \cdot 1 = \sqrt{x}\cdot\sqrt{x}$ ), ta được $\dfrac{f(x)^2 + 1}{2f(x)} = \dfrac{x^2 + 1}{2x}$ , hay $xf(x)^2 - (x^2+1)f(x) + x = (xf(x)-1)(f(x)-x) = 0$ . Vì thế với mỗi $x > 0$ , hoặc $f(x) = x$ hoặc $f(x) = \dfrac{1}{x}$ .