Math Labs

Bài 2

Cho xx, yy, zz là các số thực, đều khác 11, sao cho xyz=1xyz=1. Chứng minh rằng x2(x−1)2+y2(y−1)2+z2(z−1)2≥1,\frac{x^2}{(x-1)^2}+\frac{y^2}{(y-1)^2}+\frac{z^2}{(z-1)^2}\ge 1, và chứng minh rằng dấu đẳng thức xảy ra với vô hạn bộ ba số hữu tỉ xx, yy, zz.
Bước 1 trên 5: Đặt a = x/(x-1) để đưa tổng cần xét về tổng các bình phương
Bước trướcBước tiếp
a=xx−1, b=yy−1, c=zz−1  ⟹  x=aa−1, y=bb−1, z=cc−1a=\frac{x}{x-1},\ b=\frac{y}{y-1},\ c=\frac{z}{z-1} \implies x=\frac{a}{a-1},\ y=\frac{b}{b-1},\ z=\frac{c}{c-1}
Phân tích chi tiết

Đặt a=xx−1a=\frac{x}{x-1}, b=yy−1b=\frac{y}{y-1}, c=zz−1c=\frac{z}{z-1}; tổng cần xét chính là a2+b2+c2a^2+b^2+c^2. Mỗi phép đặt đều khả nghịch: từ a=xx−1a=\frac{x}{x-1} ta có a(x−1)=xa(x-1)=x, tức x(a−1)=ax(a-1)=a, nên x=aa−1x=\frac{a}{a-1} (tương tự cho y,zy,z); đặc biệt a=1a=1 sẽ buộc x=x−1x=x-1, vô lý, nên a,b,c≠1a,b,c\ne1 tự động.