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第2题

设 ABCABC 是外心为 OO 的三角形。点 PP、QQ 分别是边 CACA、ABAB 上的内点。设 KK、LL、MM 分别是线段 BPBP、CQCQ、PQPQ 的中点，设 Γ\Gamma 是过 KK、LL、MM 的圆。已知直线 PQPQ 与圆 Γ\Gamma 相切，证明 OP=OQOP = OQ。
第 1/4 步：把 K、L、M 视为中位线的端点
上一步下一步
通俗地说

M 与 K、L 一同分别是三角形 PQB 与 QPC 中的中点，因此 MK、ML 是平行于外侧边的中位线。

MK∥AB, MK=12QBML∥AC, ML=12PCMK \parallel AB,\ MK=\tfrac12 QB \qquad ML \parallel AC,\ ML=\tfrac12 PC
详细分析

在三角形 PQBPQB 中，MM、KK 分别是 PQPQ、PBPB 的中点，故 MKMK 是中位线：MK∥QBMK\parallel QB，即 MK∥ABMK\parallel AB，且 MK=12QBMK=\tfrac12 QB。同理在三角形 QPCQPC 中，MM、LL 分别是 QPQP、QCQC 的中点，故 ML∥PCML\parallel PC，即 ML∥ACML\parallel AC，且 ML=12PCML=\tfrac12 PC。由 MK∥ABMK\parallel AB 且 ML∥ACML\parallel AC 知 MKMK 与 MLML 的夹角等于 ABAB 与 ACAC 的夹角：∠KML=∠BAC\angle KML=\angle BAC。此外 MLMK=PCQB\dfrac{ML}{MK}=\dfrac{PC}{QB}。