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国际数学奥林匹克 · 2009年

试题

  1. 第1题设 n,k≥2n, k \ge 2 为正整数，a1,a2,…,aka_1, a_2, \dots, a_k 是集合 {1,2,…,n}\{1, 2, \dots, n\} 中互不相同的整数，使得对每个 i=1,2,…,k−1i = 1, 2, \dots, k - 1，nn 都整除 ai(ai+1−1)a_i(a_{i+1} - 1)。证明 nn 不整除 ak(a1−1)a_k(a_1 - 1)。解法: 1
  2. 第2题设 ABCABC 是外心为 OO 的三角形。点 PP、QQ 分别是边 CACA、ABAB 上的内点。设 KK、LL、MM 分别是线段 BPBP、CQCQ、PQPQ 的中点，设 Γ\Gamma 是过 KK、LL、MM 的圆。已知直线 PQPQ 与圆 Γ\Gamma 相切，证明 OP=OQOP = OQ。解法: 1
  3. 第3题设 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots 是严格递增的正整数数列，使得子数列 ss1,ss2,ss3,…s_{s_1}, s_{s_2}, s_{s_3}, \dots 与 ss1+1,ss2+1,ss3+1,…s_{s_1+1}, s_{s_2+1}, s_{s_3+1}, \dots 都是等差数列。证明数列 s1,s2,s3,…s_1, s_2, s_3, \dots 本身也是等差数列。解法: 1
  4. 第4题设 ABCABC 是满足 AB=ACAB = AC 的三角形。∠CAB\angle CAB 与 ∠ABC\angle ABC 的角平分线分别交边 BCBC、CACA 于 DD、EE。设 KK 是三角形 ADCADC 的内心。已知 ∠BEK=45∘\angle BEK = 45^\circ，求 ∠CAB\angle CAB 所有可能的值。解法: 1
  5. 第5题求所有从正整数集到正整数集的函数 ff，使得对任意正整数 aa 和 bb，都存在边长为 aa、f(b)f(b) 和 f(b+f(a)−1)f(b+f(a)-1) 的非退化三角形。（三角形非退化是指其顶点不共线。）解法: 1
  6. 第6题设 a1,…,ana_1,\ldots,a_n 是互不相同的正整数，MM 是一个含有 n−1n-1 个正整数且不包含 s=a1+⋯+ans=a_1+\cdots+a_n 的集合。一只蚱蜢从 00 出发，按某个顺序向右跳 nn 次，跳跃长度为 a1,…,ana_1,\ldots,a_n。证明可以选择这个顺序，使蚱蜢从不落在 MM 中的点上。解法: 1