Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2011

Đề thi

Bài 1Với mỗi tập hợp $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$ gồm bốn số nguyên dương phân biệt, ký hiệu tổng $a_1+a_2+a_3+a_4$ là $s_A$ . Gọi $n_A$ là số cặp $(i,j)$ với $1\le i<j\le4$ sao cho $a_i+a_j$ chia hết $s_A$ . Hãy tìm tất cả các tập hợp $A$ gồm bốn số nguyên dương phân biệt đạt giá trị lớn nhất có thể của $n_A$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $S$ là một tập hợp hữu hạn gồm ít nhất hai điểm trong mặt phẳng, trong đó không có ba điểm nào của $S$ thẳng hàng. Một cối xay gió là một quá trình bắt đầu với một đường thẳng đi qua một điểm duy nhất $P\in S$ . Đường thẳng quay theo chiều kim đồng hồ quanh trục $P$ cho đến lần đầu tiên nó gặp một điểm khác thuộc $S$ . Điểm này, $Q$ , trở thành trục quay mới, và đường thẳng lại quay theo chiều kim đồng hồ quanh $Q$ cho đến khi gặp một điểm của $S$ . Quá trình này tiếp diễn mãi mãi. Hãy chứng minh rằng ta có thể chọn một điểm $P$ trong $S$ và một đường thẳng đi qua $P$ sao cho cối xay gió thu được dùng mỗi điểm của $S$ làm trục quay vô hạn lần.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ là một hàm thực xác định trên tập số thực thỏa mãn $f(x+y)\le yf(x)+f(f(x))$ với mọi số thực $x$ và $y$ . Chứng minh rằng $f(x)=0$ với mọi $x\le0$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $n>0$ là một số nguyên. Ta có một chiếc cân và $n$ vật nặng có khối lượng $2^0,2^1,\dots,2^{n-1}$ . Ta lần lượt đặt từng vật trong $n$ vật lên cân, sao cho đĩa cân bên phải không bao giờ nặng hơn đĩa cân bên trái. Ở mỗi bước, ta chọn một vật chưa được đặt lên cân và đặt nó lên đĩa trái hoặc đĩa phải, cho đến khi tất cả các vật đã được đặt. Hãy xác định số cách để thực hiện việc này.Các cách giải: 1
Bài 5Cho $f$ là một hàm từ tập số nguyên đến tập số nguyên dương. Giả sử rằng, với hai số nguyên bất kỳ $m$ và $n$ , hiệu $f(m)-f(n)$ chia hết cho $f(m-n)$ . Chứng minh rằng, với mọi số nguyên $m$ và $n$ mà $f(m)\le f(n)$ , số $f(n)$ chia hết cho $f(m)$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $ABC$ là một tam giác nhọn với đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ . Cho $\ell$ là một tiếp tuyến của $\Gamma$ , và gọi $\ell_a$ , $\ell_b$ , $\ell_c$ lần lượt là các đường thẳng thu được bằng cách phản xạ $\ell$ qua các đường thẳng $BC$ , $CA$ , $AB$ . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác được xác định bởi các đường thẳng $\ell_a,\ell_b,\ell_c$ tiếp xúc với đường tròn $\Gamma$ .Các cách giải: 1