国际数学奥林匹克 · 2011年

试题

第1题对任意由四个互不相同的正整数组成的集合 $A=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$ ，记和 $a_1+a_2+a_3+a_4$ 为 $s_A$ 。设 $n_A$ 为满足 $1\le i<j\le4$ 且 $a_i+a_j$ 整除 $s_A$ 的数对 $(i,j)$ 的个数。求所有使 $n_A$ 取到最大可能值的四个互不相同正整数组成的集合 $A$ 。解法: 1
第2题设 $S$ 是平面上至少含两个点的有限集合，且 $S$ 中任何三点都不共线。所谓风车，是从过某一点 $P\in S$ 的一条直线开始的过程：直线绕枢轴 $P$ 顺时针旋转，直到第一次与 $S$ 中另一个点相遇为止。这个点 $Q$ 接替成为新的枢轴，直线又绕 $Q$ 顺时针旋转，直到下一次与 $S$ 中的点相遇。这个过程无限地进行下去。证明可以选取 $S$ 中的一点 $P$ 以及过 $P$ 的一条直线，使得由此得到的风车让 $S$ 中每一个点都无穷多次成为枢轴。解法: 1
第3题设 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ 是定义在实数集上的实值函数，对任意实数 $x$ 和 $y$ 满足 $f(x+y)\le yf(x)+f(f(x))$ 。证明对所有 $x\le0$ 都有 $f(x)=0$ 。解法: 1
第4题设 $n>0$ 为整数。现有一架天平和 $n$ 个重量分别为 $2^0,2^1,\dots,2^{n-1}$ 的砝码。我们要依次把这 $n$ 个砝码放到天平上，使得右盘始终不比左盘重。每一步都从尚未放置的砝码中选一个，放到左盘或右盘上，直到所有砝码都放置完毕。求这样做的方式数。解法: 1
第5题设 $f$ 是从整数集到正整数集的函数。假设对任意两个整数 $m$ 和 $n$ ，差 $f(m)-f(n)$ 都能被 $f(m-n)$ 整除。证明对所有满足 $f(m)\le f(n)$ 的整数 $m$ 和 $n$ ， $f(n)$ 都能被 $f(m)$ 整除。解法: 1
第6题设 $ABC$ 是外接圆为 $\Gamma$ 的锐角三角形。设 $\ell$ 是 $\Gamma$ 的一条切线， $\ell_a$ 、 $\ell_b$ 、 $\ell_c$ 分别是把 $\ell$ 关于直线 $BC$ 、 $CA$ 、 $AB$ 作反射得到的直线。证明由直线 $\ell_a,\ell_b,\ell_c$ 所确定的三角形的外接圆与圆 $\Gamma$ 相切。解法: 1