Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2012

Đề thi

Bài 1Cho tam giác $ABC$ và $J$ là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện $A$ . Đường tròn này tiếp xúc $BC$ tại $M$ , các đường thẳng $AB$ , $AC$ lần lượt tại $K$ , $L$ . Hai đường $LM$ , $BJ$ cắt nhau tại $F$ , còn $KM$ , $CJ$ cắt nhau tại $G$ . Gọi $S$ là giao điểm của $AF$ , $BC$ , và $T$ là giao điểm của $AG$ , $BC$ . Chứng minh $M$ là trung điểm của $ST$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $n\ge3$ là số nguyên và $a_2,a_3,\dots,a_n$ là các số thực dương thỏa $a_2a_3\cdots a_n=1$ . Chứng minh $(1+a_2)^2(1+a_3)^3\cdots(1+a_n)^n>n^n$ .Các cách giải: 1
Bài 3Trong trò chơi đoán có nói dối, A chọn số nguyên $x$ với $1\le x\le N$ và cho B biết $N$ . B hỏi các câu dạng “ $x$ có thuộc tập $D$ không?”, trong đó $D$ là tập số nguyên dương tùy ý. A có thể trả lời thật hoặc dối ở mỗi câu, nhưng trong mọi $k+1$ câu liên tiếp phải có ít nhất một câu trả lời thật. Sau hữu hạn câu hỏi, B nêu một tập $X$ gồm nhiều nhất $n$ số nguyên dương và thắng nếu $x\in X$ . Chứng minh (a) nếu $n\ge2^k$ thì B có thể bảo đảm thắng; (b) với mọi $k$ đủ lớn, có một $n\ge1.99^k$ khiến mọi chiến lược đều thất bại.Các cách giải: 1
Bài 4Tìm mọi hàm $f:\mathbb Z\to\mathbb Z$ sao cho với mọi $a,b,c$ nguyên thỏa $a+b+c=0$ , ta có $f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$ . Các cách giải: 1
Bài 5Cho tam giác $ABC$ với $\angle BCA=90^\circ$ , D là chân đường cao từ C. Lấy X trong đoạn CD. K trên AX sao cho $BK=BC$ , L trên BX sao cho $AL=AC$ , và $M=AL\cap BK$ . Chứng minh $MK=ML$ .Các cách giải: 1
Bài 6Tìm mọi số nguyên dương $n$ sao cho tồn tại các số nguyên không âm $a_1,\dots,a_n$ thỏa $\sum_{i=1}^n2^{-a_i}=\sum_{i=1}^n i3^{-a_i}=1$ .Các cách giải: 1