Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2013

Đề thi

Bài 1Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên dương $k$ và $n$ , tồn tại $k$ số nguyên dương $m_1,m_2,\ldots,m_k$ (không nhất thiết khác nhau) sao cho $1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).$ Các cách giải: 1
Bài 2Một cấu hình $4027$ điểm trong mặt phẳng được gọi là Colombia nếu nó gồm $2013$ điểm đỏ và $2014$ điểm xanh, và không có ba điểm nào của cấu hình thẳng hàng. Bằng cách vẽ một số đường thẳng, mặt phẳng được chia thành nhiều miền. Một cách vẽ đường thẳng được gọi là tốt đối với một cấu hình Colombia nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: (1) không đường thẳng nào đi qua điểm nào của cấu hình; (2) không miền nào chứa điểm của cả hai màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ sao cho với mọi cấu hình Colombia gồm $4027$ điểm, luôn tồn tại một cách vẽ tốt gồm $k$ đường thẳng.Các cách giải: 1
Bài 3Gọi đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC$ tiếp xúc với cạnh $BC$ tại điểm $A_1$ . Định nghĩa tương tự các điểm $B_1$ trên $CA$ và $C_1$ trên $AB$ bằng các đường tròn bàng tiếp góc $B$ và góc $C$ . Giả sử tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A_1B_1C_1$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ . Chứng minh rằng tam giác $ABC$ vuông.Các cách giải: 1
Bài 4Cho tam giác nhọn $ABC$ với trực tâm $H$ , và $W$ là điểm nằm trên cạnh $BC$ , ở giữa $B$ và $C$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là chân đường cao từ $B$ và từ $C$ . Gọi $\omega_1$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $BWN$ , và $X$ là điểm trên $\omega_1$ sao cho $WX$ là đường kính của $\omega_1$ . Tương tự, gọi $\omega_2$ là đường tròn ngoại tiếp tam giác $CWM$ , và $Y$ là điểm sao cho $WY$ là đường kính của $\omega_2$ . Chứng minh rằng $X, Y$ và $H$ thẳng hàng.Các cách giải: 1
Bài 5Gọi $\mathbb{Q}_{>0}$ là tập các số hữu tỉ dương. Cho $f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}$ là hàm số thỏa mãn ba điều kiện sau: (i) với mọi $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$ , $f(x)f(y)\ge f(xy)$ ; (ii) với mọi $x,y\in\mathbb{Q}_{>0}$ , $f(x+y)\ge f(x)+f(y)$ ; (iii) tồn tại số hữu tỉ $a>1$ sao cho $f(a)=a$ . Chứng minh rằng $f(x)=x$ với mọi $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $n\ge2$ là số nguyên, xét một đường tròn với $n+1$ điểm cách đều nhau được đánh dấu trên đó. Xét tất cả các cách đánh số các điểm này bằng $0,1,\ldots,n$ sao cho mỗi số được dùng đúng một lần; hai cách đánh số được coi là giống nhau nếu cách này có được từ cách kia bằng một phép quay đường tròn. Một cách đánh số được gọi là đẹp nếu, với bất kỳ bốn số $a<b<c<d$ mà $a+d=b+c$ , dây cung nối hai điểm mang số $a$ và $d$ không cắt dây cung nối hai điểm mang số $b$ và $c$ . Gọi $M$ là số cách đánh số đẹp, và $N$ là số cặp số nguyên dương $(x,y)$ sao cho $x+y\le n$ và $\gcd(x,y)=1$ . Chứng minh rằng $M=N+1$ .Các cách giải: 1