Bài 5

Gọi

\mathbb{Q}_{>0}

là tập các số hữu tỉ dương. Cho

f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{R}

là hàm số thỏa mãn ba điều kiện sau: (i) với mọi

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x)f(y)\ge f(xy)

; (ii) với mọi

x,y\in\mathbb{Q}_{>0}

f(x+y)\ge f(x)+f(y)

; (iii) tồn tại số hữu tỉ

a>1

sao cho

f(a)=a

. Chứng minh rằng

f(x)=x

với mọi

x\in\mathbb{Q}_{>0}

Bước 1 trên 6: Chặn đầu tiên từ hai bất đẳng thức

Bước trước Bước tiếp

f(1)\ge 1, \qquad f(nx)\ge n f(x) \text{ for } n\in\mathbb{Z}_{>0}

Phân tích chi tiết

Thay $x=1,y=a$ vào (i) cho $f(1)f(a)\ge f(a)$ , và vì $f(a)=a>0$ nên suy ra $f(1)\ge1$ . Quy nạp theo $n$ dùng (ii) cho $f(nx)\ge nf(x)$ với mọi số nguyên dương $n$ và $x\in\mathbb{Q}_{>0}$ ; đặc biệt $f(n)\ge nf(1)\ge n$ .