Bài 1

Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên dương

k

và

n

, tồn tại

k

số nguyên dương

m_1,m_2,\ldots,m_k

(không nhất thiết khác nhau) sao cho

1+\frac{2^k-1}{n}=\left(1+\frac{1}{m_1}\right)\left(1+\frac{1}{m_2}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{m_k}\right).

Bước 1 trên 5: Trường hợp cơ sở k = 1

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Tách dần từng thừa số sẽ đưa $k$ về $k-1$ , nên quy nạp theo $k$ là tự nhiên.

1+\frac{2^1-1}{n}=1+\frac{1}{n}

Phân tích chi tiết

Với $k=1$ , đẳng thức cần chứng minh chỉ là $1+\frac{1}{n}=1+\frac{1}{n}$ , luôn đúng khi chọn $m_1=n$ . Đây là cơ sở của phép quy nạp theo $k$ , cần đúng với mọi số nguyên dương $n$ .