Olympic Toán học Quốc tế · Năm 2014

Đề thi

Bài 1Cho $a_0<a_1<a_2<\cdots$ là một dãy vô hạn các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một số nguyên $n\ge1$ sao cho $a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.$ Các cách giải: 1
Bài 2Cho $n\ge2$ là số nguyên. Xét bàn cờ $n\times n$ gồm $n^2$ ô vuông đơn vị. Một cách xếp $n$ quân xe trên bàn cờ này gọi là hòa bình nếu mỗi hàng và mỗi cột chứa đúng một quân xe. Tìm số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho, với mọi cách xếp hòa bình $n$ quân xe, luôn tồn tại một hình vuông $k\times k$ không chứa quân xe nào trong số $k^2$ ô vuông đơn vị của nó.Các cách giải: 1
Bài 3Cho tứ giác lồi $ABCD$ với $\angle ABC=\angle CDA=90^\circ$ . Điểm $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống $BD$ . Các điểm $S$ và $T$ lần lượt nằm trên cạnh $AB$ và $AD$ sao cho $H$ nằm trong tam giác $SCT$ và $\angle CHS-\angle CSB=90^\circ$ , $\angle THC-\angle DTC=90^\circ$ . Chứng minh rằng đường thẳng $BD$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $TSH$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho các điểm $P$ và $Q$ nằm trên cạnh $BC$ của tam giác nhọn $ABC$ sao cho $\angle PAB=\angle BCA$ và $\angle CAQ=\angle ABC$ . Các điểm $M$ và $N$ lần lượt nằm trên đường thẳng $AP$ và $AQ$ sao cho $P$ là trung điểm của $AM$ , và $Q$ là trung điểm của $AN$ . Chứng minh rằng giao điểm của đường thẳng $BM$ và $CN$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .Các cách giải: 1
Bài 5Với mỗi số nguyên dương $n$ , Ngân hàng Cape Town phát hành đồng xu mệnh giá $\tfrac{1}{n}$ . Cho một tập hợp hữu hạn các đồng xu như vậy (mệnh giá không nhất thiết khác nhau) với tổng giá trị không vượt quá $99+\tfrac12$ , chứng minh rằng có thể chia tập hợp này thành $100$ nhóm trở xuống sao cho mỗi nhóm có tổng giá trị không vượt quá $1$ .Các cách giải: 1
Bài 6Một tập hợp các đường thẳng trong mặt phẳng ở vị trí tổng quát nếu không có hai đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy. Một tập hợp đường thẳng ở vị trí tổng quát chia mặt phẳng thành các miền, một số miền có diện tích hữu hạn; gọi đó là các miền hữu hạn. Chứng minh rằng với mọi $n$ đủ lớn, trong bất kỳ tập hợp $n$ đường thẳng ở vị trí tổng quát nào, luôn có thể tô màu xanh ít nhất $\sqrt{n}$ đường thẳng sao cho không có miền hữu hạn nào có toàn bộ biên là màu xanh.Các cách giải: 1