国际数学奥林匹克 · 2014年

试题

第1题设 $a_0<a_1<a_2<\cdots$ 是一个正整数的无穷数列。证明:存在唯一的整数 $n\ge1$ ,使得 $a_n<\frac{a_0+a_1+\cdots+a_n}{n}\le a_{n+1}.$ 解法: 1
第2题设 $n\ge2$ 为整数。考虑由 $n^2$ 个单位方格组成的 $n\times n$ 棋盘。若棋盘上 $n$ 个车的摆放使得每行每列恰有一个车,则称这种摆放是和平的。求最大的正整数 $k$ ,使得对 $n$ 个车的每一种和平摆放,都存在一个 $k\times k$ 的正方形,其 $k^2$ 个单位方格中都没有车。解法: 1
第3题凸四边形 $ABCD$ 满足 $\angle ABC=\angle CDA=90^\circ$ 。点 $H$ 是从 $A$ 到 $BD$ 所引垂线的垂足。点 $S$ 、 $T$ 分别在边 $AB$ 、 $AD$ 上,使得 $H$ 在三角形 $SCT$ 内部,且 $\angle CHS-\angle CSB=90^\circ$ , $\angle THC-\angle DTC=90^\circ$ 。证明直线 $BD$ 与三角形 $TSH$ 的外接圆相切。解法: 1
第4题在锐角三角形 $ABC$ 的边 $BC$ 上取点 $P$ 、 $Q$ ,使得 $\angle PAB=\angle BCA$ 且 $\angle CAQ=\angle ABC$ 。点 $M$ 、 $N$ 分别在直线 $AP$ 、 $AQ$ 上,使得 $P$ 是 $AM$ 的中点, $Q$ 是 $AN$ 的中点。证明直线 $BM$ 与 $CN$ 的交点落在三角形 $ABC$ 的外接圆上。解法: 1
第5题对每个正整数 $n$ ,开普敦银行发行面值为 $\tfrac{1}{n}$ 的硬币。给定这样一批硬币(面值不必互不相同)的有限集合,其总价值不超过 $99+\tfrac12$ ,证明可以把这批硬币分成不超过 $100$ 组,使得每组的总价值都不超过 $1$ 。解法: 1
第6题平面上一组直线称为处于一般位置,如果其中任何两条都不平行,任何三条都不共点。处于一般位置的一组直线把平面分成若干区域,其中一些具有有限面积;称这些为其有限区域。证明:对一切充分大的 $n$ ,在处于一般位置的任意 $n$ 条直线组成的集合中,总能把其中至少 $\sqrt{n}$ 条染成蓝色,使得没有一个有限区域的边界完全是蓝色的。解法: 1