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第4题

求出所有正整数对 (k,n)(k,n)，使得 k!=(2n−1)(2n−2)(2n−4)⋯(2n−2n−1).k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).
第 1/6 步：记下乘积并记录最初的解
上一步下一步
Ln=∏i=0n−1(2n−2i),L1=1=1!,L2=6=3!L_n=\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i),\qquad L_1=1=1!,\qquad L_2=6=3!
详细分析

记 Ln=∏i=0n−1(2n−2i)L_n=\prod_{i=0}^{n-1}(2^n-2^i)。直接计算得 L1=1=1!L_1=1=1! 且 L2=6=3!L_2=6=3!，所以 (k,n)=(1,1)(k,n)=(1,1) 与 (k,n)=(3,2)(k,n)=(3,2) 是解。下面证明不存在其他正整数对。