国际数学奥林匹克 · 2019年

试题

第1题设 $\mathbb{Z}$ 为整数集合。求所有函数 $f\colon\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ ，使得对一切整数 $a$ 、 $b$ ，都有 $f(2a) + 2f(b) = f(f(a + b)).$ 解法: 1
第2题在三角形 $ABC$ 中，点 $A_1$ 在边 $BC$ 上，点 $B_1$ 在边 $AC$ 上。取点 $P$ 、 $Q$ 分别在边段 $AA_1$ 、 $BB_1$ 上，使 $PQ$ 平行于 $AB$ 。在线 $PB_1$ 上取点 $P_1$ ，使 $B_1$ 严格位于 $P$ 与 $P_1$ 之间，且 $\angle PP_1C=\angle BAC$ 。类似地，在线 $QA_1$ 上取点 $Q_1$ ，使 $A_1$ 严格位于 $Q$ 与 $Q_1$ 之间，且 $\angle CQ_1Q=\angle CBA$ 。证明点 $P,Q,P_1,Q_1$ 共圆。解法: 1
第3题一个社交网络有 $2019$ 名用户，其中一些用户成对为朋友（朋友关系是对称的）。以下事件可以反复发生，每次一个：三名用户 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 满足 $A$ 同时与 $B$ 和 $C$ 是朋友，但 $B$ 与 $C$ 不是朋友；改变他们的朋友关系，使得 $B$ 与 $C$ 现在成为朋友，但 $A$ 不再与 $B$ 是朋友，也不再与 $C$ 是朋友。其他所有朋友关系保持不变。最初， $1010$ 名用户各有 $1009$ 个朋友， $1009$ 名用户各有 $1010$ 个朋友。证明存在一系列这样的事件，使得之后每名用户至多与另一名用户是朋友。解法: 1
第4题求出所有正整数对 $(k,n)$ ，使得 $k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots(2^n-2^{n-1}).$ 解法: 1
第5题Bath 银行发行一面为、另一面为的硬币。Harry 有枚这样的硬币，从左到右排成一列。他反复进行如下操作：若恰有枚硬币显示，就翻转从左数第枚硬币；否则所有硬币都显示，他便停止。例如当且从开始时，过程为，三次操作后停止。(a) 证明对每个初始配置，Harry 都会在有限次操作后停止。(b) 对每个初始配置，令为停止前的操作次数。求所有个初始配置的的平均值。 $H$ $T$ $n$ $k>0$ $H$ $k$ $T$ $n=3$ $THT$ $THT\to HHT\to HTT\to TTT$ $C$ $L(C)$ $L(C)$ $2^n$ 解法: 1
第6题设是锐角三角形的内心，且。三角形的内切圆分别在、、上与其相切于、、。过作的垂线，再次与相交于（异于）。直线再次与相交于（异于）。三角形与的外接圆再次相交于（异于）。证明直线与的交点位于过且垂直于的直线上。 $I$ $ABC$ $AB\ne AC$ $\omega$ $ABC$ $BC$ $CA$ $AB$ $D$ $E$ $F$ $D$ $EF$ $\omega$ $R$ $D$ $AR$ $\omega$ $P$ $R$ $PCE$ $PBF$ $Q$ $P$ $DI$ $PQ$ $A$ $AI$ 解法: 1