Math Labs

Bài 1

Tìm tất cả số thực α\alpha sao cho với mọi số nguyên dương nn, số nguyên ⌊α⌋+⌊2α⌋+⌊3α⌋+⋯+⌊nα⌋\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor chia hết cho nn.
Bước 1 trên 4: Số nguyên: chẵn thì được, lẻ thì thất bại
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Khi alpha là số nguyên, mọi hàm sàn biến mất và tổng trở thành một biểu thức đóng đơn giản, chia hết cho n với mọi n đúng khi alpha là số chẵn.

S(n,α)=α⋅n(n+1)2S(n,\alpha)=\alpha\cdot\dfrac{n(n+1)}2
Phân tích chi tiết

Nếu α\alpha là số nguyên, thì S(n,α):=⌊α⌋+⋯+⌊nα⌋=α(1+2+⋯+n)=α⋅n(n+1)2S(n,\alpha):=\lfloor\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor=\alpha(1+2+\cdots+n)=\alpha\cdot\dfrac{n(n+1)}2. Yêu cầu n∣S(n,α)n\mid S(n,\alpha) đúng với mọi nn nghĩa là α(n+1)2∈Z\dfrac{\alpha(n+1)}2\in\mathbb Z với mọi nn; điều này đúng với mọi nn khi và chỉ khi α\alpha là số chẵn. Nếu α\alpha là số nguyên lẻ, thì n=2n=2 cho S(2,α)=3αS(2,\alpha)=3\alpha, là số lẻ và không chia hết cho 22, nên số nguyên lẻ thất bại.