国际数学奥林匹克 · 2024年

试题

第1题求所有实数 $\alpha$ ，使得对每个正整数 $n$ ，整数 $\lfloor\alpha\rfloor+\lfloor2\alpha\rfloor+\lfloor3\alpha\rfloor+\cdots+\lfloor n\alpha\rfloor$ 都能被 $n$ 整除。解法: 1
第2题对于哪些正整数对 $(a,b)$ ，数列 $\gcd(a^n+b,b^n+a)$ （ $n=1,2,\ldots$ ）最终变为常数？解法: 1
第3题设 $a_1,a_2,a_3,\ldots$ 是一个由正整数组成的无穷数列， $N$ 是一个正整数。假设对每个 $n>N$ ，数 $a_n$ 等于 $a_{n-1}$ 在列表 $(a_1,a_2,\ldots,a_{n-1})$ 中出现的次数。证明数列 $a_1,a_3,a_5,\ldots$ 与 $a_2,a_4,a_6,\ldots$ 中至少有一个最终是周期性的。解法: 1
第4题设三角形 $ABC$ 的内心为 $I$ ，满足 $AB<AC<BC$ 。设 $X$ 是直线 $BC$ 上一点（不同于 $C$ ），使得过 $X$ 且平行于 $AC$ 的直线与内切圆相切。类似地，设 $Y$ 是直线 $BC$ 上一点（不同于 $B$ ），使得过 $Y$ 且平行于 $AB$ 的直线与内切圆相切。直线 $AI$ 再次与三角形 $ABC$ 的外接圆交于点 $P$ 。设 $K$ 、 $L$ 分别为 $AC$ 、 $AB$ 的中点。求证 $\angle KIL+\angle YPX=180^\circ$ 。解法: 1
第5题蜗牛图尔博（Turbo）位于一个有2024行2023列的方格表的最上面一行，想要到达最下面一行。然而表中藏有2022只怪兽，除第一行和最后一行外，每一行恰好有一只怪兽，且没有两只怪兽位于同一列。图尔博会进行一系列尝试，从第一行走到最后一行。在每次尝试中，他可以选择第一行中任意一个格子作为起点，然后不断移动到与当前格子相邻（上下左右）的格子（允许回到之前访问过的格子）。如果图尔博到达一个有怪兽的格子，本次尝试立即结束，他会被送回第一行重新开始新的尝试。怪兽在各次尝试之间不会移动，并且图尔博会记住自己到过的每个格子里有没有怪兽。如果他到达最后一行的任意一个格子，本次尝试结束，图尔博获胜。试求最小的整数 $n$ ，使得无论怪兽如何放置，图尔博都存在一种策略，能保证在至多 $n$ 次尝试内到达最下面一行。解法: 1
第6题如果函数 $f:\mathbb Q\to\mathbb Q$ 对任意 $x,y\in\mathbb Q$ 都满足 $f(x+f(y))=f(x)+y$ 或 $f(f(x)+y)=x+f(y)$ ，就称其为 aquaesulian 函数。证明存在一个整数 $c$ ，使得对任意 aquaesulian 函数 $f$ ，形如 $f(r)+f(-r)$ （其中 $r$ 为某个有理数）的不同有理数至多有 $c$ 个，并求 $c$ 的最小可能值。解法: 1