MathLabs

第1問

各実数 r>2r>2 に対して、方程式 x2=r⌊x⌋x^2=r\lfloor x\rfloor を満たす正の実数 xx がちょうど2個または3個存在することを証明せよ。（ここで ⌊x⌋\lfloor x\rfloor は xx 以下の最大の整数を表す。）
ステップ 1/4: 床関数の値による設定
前のステップ次のステップ
k=⌊x⌋,x2=rk,k≤x<k+1k=\lfloor x\rfloor,\quad x^2=rk,\quad k\le x<k+1
詳しい解説

x>0x>0 が x2=r⌊x⌋x^2=r\lfloor x\rfloor を満たすとし、k=⌊x⌋k=\lfloor x\rfloor とおく。x>0x>0、r>0r>0 より x2=rk>0x^2=rk>0 となるので kk は正整数であり、k≤x<k+1k\le x<k+1 より k2≤x2=rk<(k+1)2k^2\le x^2=rk<(k+1)^2 を得る。