第3問

n

を正の整数とし、

a_1,a_2,\ldots,a_n

を正の実数とする。次を証明せよ。

\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.

ステップ 1/5: 不等式を書き直す

前のステップ次のステップ

A_k(x)=\frac{1}{2^k}\left(\frac{2}{1+x}\right)^{2^k},\qquad\sum_{i=1}^nA_i(a_i)\ge A_0(a_1a_2\cdots a_n)-\frac{1}{2^n}

詳しい解説

$k\ge0$ に対し $A_k(x)=\frac{1}{2^k}\left(\frac{2}{1+x}\right)^{2^k}$ とおく。すると $A_0(x)=\frac{2}{1+x}$ である。求める不等式は $\sum_{i=1}^nA_i(a_i)\ge A_0(a_1a_2\cdots a_n)-\frac{1}{2^n}$ と書き直せる。