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第1問

1111 で割り切れ、かつ N/11N/11 が NN の各桁の数字の平方の和に等しいような、すべての3桁の数 NN を求めよ。
ステップ 3/6: 場合A:偶奇性から b は4の倍数になる
b=2B  ⟹  B=a(a−5)+2aB+4B2 is even  ⟹  b∈{0,4,8}b=2B \implies B=a(a-5)+2aB+4B^2 \text{ is even} \implies b\in\{0,4,8\}
詳しい解説

2a2+2ab+2b2=10a+b2a^2+2ab+2b^2=10a+b の左辺は偶数なので bb は偶数であり、b=2Bb=2B とおく。代入して整理すると B=a(a−5)+2aB+4B2B=a(a-5)+2aB+4B^2 となり、右辺は偶数なので BB も偶数である。したがって b=2Bb=2B は 44 の倍数となり、調べるべきは b=0,4,8b=0,4,8 のみとなる。