MathLabs

第1問

三角形ABCABCの辺ABAB上に点MMをとる。r1,r2,rr_1,r_2,rをそれぞれ三角形AMCAMC、BMCBMC、ABCABCの内接円の半径とする。またq1,q2,qq_1,q_2,qを、それぞれ∠ACB\angle ACBの内部にある同じ三角形の傍接円の半径とする。r1q1⋅r2q2=rq\frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac rqを証明せよ。
ステップ 2/5: 傍接円の接線長
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

補角によって余接が正接に変わる。

c=q(tan⁡A2+tan⁡B2)c=q\left(\tan\frac A2+\tan\frac B2\right)
詳しい解説

CC側の傍接円では対応する角がπ−A\pi-A、π−B\pi-Bになる。同じ接線長の議論からc=q(cot⁡π−A2+cot⁡π−B2)=q(tan⁡A2+tan⁡B2)c=q\left(\cot\frac{\pi-A}{2}+\cot\frac{\pi-B}{2}\right)=q\left(\tan\frac A2+\tan\frac B2\right)を得る。