MathLabs

第1問

三角形ABCABCの辺ABAB上に点MMをとる。r1,r2,rr_1,r_2,rをそれぞれ三角形AMCAMC、BMCBMC、ABCABCの内接円の半径とする。またq1,q2,qq_1,q_2,qを、それぞれ∠ACB\angle ACBの内部にある同じ三角形の傍接円の半径とする。r1q1⋅r2q2=rq\frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac rqを証明せよ。
ステップ 5/5: MMでの補角を使う
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの角が平角を作るため、半角の因子が打ち消し合う。

tan⁡∠AMC2tan⁡∠BMC2=1\tan\frac{\angle AMC}{2}\tan\frac{\angle BMC}{2}=1
詳しい解説

A,M,BA,M,Bが一直線上なので∠AMC+∠BMC=π\angle AMC+\angle BMC=\pi。半角は余角であり、正接は逆数になる。したがって積はr1q1r2q2=tan⁡A2tan⁡B2=rq\frac{r_1}{q_1}\frac{r_2}{q_2}=\tan\frac A2\tan\frac B2=\frac rqである。