MathLabs

第1問

三角形ABCABCの辺ABAB上に点MMをとる。r1,r2,rr_1,r_2,rをそれぞれ三角形AMCAMC、BMCBMC、ABCABCの内接円の半径とする。またq1,q2,qq_1,q_2,qを、それぞれ∠ACB\angle ACBの内部にある同じ三角形の傍接円の半径とする。r1q1⋅r2q2=rq\frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac rqを証明せよ。
ステップ 1/5: 角の二等分線からの半径比
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

二つの円はCCから出る二辺に接し、同じ二等分線で尺度が決まる。

rq=s−cs=a+b−ca+b+c\dfrac rq=\dfrac{s-c}{s}=\dfrac{a+b-c}{a+b+c}
詳しい解説

内心とCCに対する傍心は∠C\angle Cの二等分線上にある。相似な直角三角形から半径比はCCからの接線長の比、すなわちs−cs\frac{s-c}{s}になる。