MathLabs

第1問

三角形ABCABCの辺ABAB上に点MMをとる。r1,r2,rr_1,r_2,rをそれぞれ三角形AMCAMC、BMCBMC、ABCABCの内接円の半径とする。またq1,q2,qq_1,q_2,qを、それぞれ∠ACB\angle ACBの内部にある同じ三角形の傍接円の半径とする。r1q1⋅r2q2=rq\frac{r_1}{q_1}\cdot\frac{r_2}{q_2}=\frac rqを証明せよ。
ステップ 2/5: 二つの小三角形の比を書く
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

半径を辺長に置き換えると、図形が代数になる。

r1q1=b+d−c1b+d+c1,r2q2=a+d−c2a+d+c2\frac{r_1}{q_1}=\frac{b+d-c_1}{b+d+c_1},\quad\frac{r_2}{q_2}=\frac{a+d-c_2}{a+d+c_2}
詳しい解説

AM=c1AM=c_1、MB=c2MB=c_2、CM=dCM=d、BC=aBC=a、CA=bCA=b、AB=c=c1+c2AB=c=c_1+c_2と置き、前の公式をAMCAMCとBMCBMCに適用する。