MathLabs

第5問

実数値関数 ff と gg がすべての実数 x,yx,y で f(x+y)+f(x−y)=2f(x)g(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) を満たすとする。すべての x,yx,y でこの式を満たし、ff が恒等的に0でなく、すべての xx で ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1 ならば、すべての yy で ∣g(y)∣≤1|g(y)|\le1 を証明せよ。
ステップ 1/4: 上限を定める
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

非零仮定により kk で割れる。

0<k=sup⁡x∈R∣f(x)∣≤10<k=\sup_{x\in\mathbb R}|f(x)|\le1
詳しい解説

ff は恒等的に0でなく ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1 なので、上限 k=sup⁡x∣f(x)∣k=\sup_x|f(x)| は存在し 0<k≤10<k\le1 である。