うまく選んだ全単射により、扱いにくい加重和が組合せ的対象のすっきりした計数に変わる。
長さ n+1n+1n+1 で r+1r+1r+1 個の 1 をちょうど含む二進文字列を考える。1≤k≤n1 \le k \le n1≤k≤n とし、2番目の 111 が位置 k+1k+1k+1 にあるとする。前にある1個目の 111 を最初の kkk 位置のいずれかに置く方法は (k1)\binom{k}{1}(1k) 通りで、位置 k+1k+1k+1 より後ろに残りの r−1r-1r−1 個の 1 を置く方法は (n−kr−1)\binom{n-k}{r-1}(r−1n−k) 通りである。